Representaciones de un sistema de ecuaciones

Para las siguientes representaciones asumimos una matriz $A$ de tamaño $2 \times 3$ donde sus columnas son $v_0$, $v_1$ y $v_2$

$A=\begin{bmatrix}v_0 & v_1 & v_2 \end{bmatrix}, \ \ \ \vec{x}=\begin{bmatrix}x_0 \\ x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}, \ \ \ \vec{b}=\begin{bmatrix}b_0 \\ b_1 \end{bmatrix}, \ \ \ S=\{v_0,v_1,v_2\}$

Sistema de Ecuaciones	Matriz Extendida	Combinación Lineal de vectores	Matriz por vector	Transformación Matricial
El planteamiento de problemas	El algoritmo de Gauss	La representación gráfica de vectores	Las operaciones matriciales	La composición de funciones
$\left.\begin{aligned}2x_0+4x_1+6x_2&=b_0\\2x_0+2x_1+2x_2&=b_1\end{aligned}\right.$	$\begin{aligned}& \ \ \ x_0 \ \ \ x_1 \ \ \ x_2\\&\begin{bmatrix}2&4&6&:&b_0\\2&2&2&:&b_1\end{bmatrix}\end{aligned}$	$\begin{aligned}x_0\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}+x_1\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}+x_2\begin{pmatrix}6\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}b_0\\b_1\end{pmatrix}\end{aligned}$	$\begin{bmatrix}2&4&6\\2&2&2\end{bmatrix}\begin{pmatrix}x_0\\x_1\\x_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}b_0\\b_1\end{pmatrix}$	$T_A\begin{pmatrix}x_0\\x_1\\x_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2x_0+4x_1+6x_2\\2x_0+2x_1+2x_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}b_0\\b_1\end{pmatrix}$
-	$[A:\vec{b}]$	$x_0 \vec{v_0}+x_1 \vec{v_1}+x_2 \vec{v_2}= \vec{b}$	$A\vec{x}=\vec{b}$	$T_A(\vec{x})=\vec{b}$
Sistema de $m$ de ecuaciones con $n$ variables	-	Combinación lineal de $n$ vectores de $\mathbb{R}^m$	$A_{m \times n}$, Matriz $A$ de tamaño $m \times n$	$T_A:\mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}^n$
Solución del S.H.	-	-	$\text{Nu}(A)$, Espacio nulo de $A$	$\text{Nu}(T_A)$, Núcleo (o Kernel) de $T_A$
Número de variables libres del S.H.	Número de columnas de $A$ sin l-pivotes	-	$\nu(A)$, nulidad de $A$	$\nu(T_A)$, nulidad de $T_A$
¿Tiene el S.H. solución única?	¿Tiene $A$ un l-pivotes en cada columna?	¿Es $S$ Linealmente Independiente (L. I.)? ¿No es $S$ Linealmente Dependiente (L. D.)? ¿Ningún vector se puede escribir como combinación lineal de los otros?	¿ $\nu(A)=0$? ¿$\text{Nu}(A)=\{\vec{0}\}$?	¿Es $T_A$ inyectiva?
Conjunto de VTC consistentes	-	$\text{Gen}(S)$, Espacio generado por $S$	$\text{Col}(A)$, Espacio columna de A. (Se pueden quitar columnas sin l-pivotes)	$\text{Im}(T_A)$, Imagen de $T_A$
Número de variables delanteras del S.H.	Número de l-pivotes de $A$	$\text{Dim}(\text{Gen}(S))$	$\rho(A)$, rango de $A$	$\rho(T_A)$, rango de $T_A$
¿Es consistente para todo VTC?	¿$A$ tiene un l-pivotes en cada renglón? ¿$A$ tiene $m$ l-pivotes? ¿Si $B \sim A$ entonces $B$ no tiene renglones de ceros?	¿$\text{Dim}(\text{Gen}(S))=m$? ¿ $\text{Gen}(S)=\mathbb{R}^m$?	¿$\rho(A)=m$? ¿$\text{Col}(A)=\mathbb{R}^m$?	¿Es $T_A$ sobreyectiva?

Abreviaturas:

• l-pivote: lugar del pivote en una matriz escalón equivalente
• L.I.: Linealmente Independiente
• S.H.: Sistema Homogéneo
• VTC: Vector(es) de Términos Constantes ($\vec{b}$)

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